Чи кожен нормальний простір можна метризувати?

Достатню умову метризовості знайшов П.С. Урисон (1923): Кожен нормальний простір (і навіть кожен регулярний простір, А.Н. Тихонов, 1925) зі зліченною основою є метризовою. Перший загальний критерій метризовості простору запропонував у 1923 році П.С. Александров і Урисон (див. [1]). 6 червня 2020 р

Кожен другий злічений нормальний простір є метризовим. Основна ідея доведення полягає в тому, щоб показати, що будь-який простір, як у теоремі, можна ототожнити з підпростором деякого метричного простору.

Метризувані простори — це простори, де можна визначити метрику, яка індукує топологію простору. Однією з ключових властивостей метризовних просторів є те, що вони є хаусдорфовими. (a) Нормальний: Не обов’язково вірно для всіх просторів, які можна метризувати.

У ньому зазначено, що топологічний простір є метризовим тоді і тільки тоді, коли він є регулярним, Хаусдорфовим і має σ-локально скінченну базу. σ-локально скінченна база — це база, яка є об’єднанням зліченної кількості локально скінченних наборів відкритих множин. Щоб отримати тісно пов’язану теорему, перегляньте теорему метризації Бінга.

Якщо нормальний простір є R0, то він фактично цілком регулярний. Таким чином, будь-що від «нормального R0» до «нормального повністю регулярного» є таким самим, як те, що ми зазвичай називаємо нормальним регулярним. Взявши частки Колмогорова, ми бачимо, що всі нормальні простори Т1 є тихоновськими. Це те, що ми зазвичай називаємо нормальними Хаусдорфовими просторами.

Таким чином, щоб компакт X був метризовим, будь-яка з наступних чотирьох умов є необхідною та достатньою: a) X має зліченну основу; б) X має точково лічильну основу; c) існує лічильна мережа (пор. Мережа (множин у топологічному просторі); Мережа) в X; або d) діагональ у X×X є Gδ-множиною.